力矩

习惯上以转轴为 $z$ 轴,选择转轴上某固定点为参考点,则可由 $z$ 轴方向力矩的分量式完全确定刚体的转动状况

$$ M_z = \dfrac{dL_z}{dt} $$

$L_z$ 为刚体定轴转动的角动量,$M_z$ 为合外力矩

设 $F$ 为转动平面内的力,力的作用点相对于参考点 $O$ 的位矢为 $\boldsymbol{r}$,则此力 $F$ 对转轴的力矩大小为

$$M_z = F r \sin \varphi = F_t r$$

$F_i$ 为力在转动平面内垂直于位矢 $r$ 的分量,称为切向分量

角动量 转动定律

设 $r_i$ 为质元 $\Delta m_i$ 到转轴的距离,整个刚体对转轴 $z$ 的角动量为

$$L = \sum_i L_i = \sum_i \Delta m_i r_i^2 \omega = \left( \sum_i \Delta m_i r_i^2 \right) \omega$$

括号中的量是由刚体本身决定的,这个表示刚体本身相对于的转轴特征的物理量称为刚体对该转轴的转动惯量 $J$

$$ J = \sum_i \Delta m_i r_i^2 $$

即得 $$L = J \omega$$

于是可得刚体的定轴转动定律

$$ M = \dfrac{dL}{dt} = J \dfrac{d\omega}{dt} = J \alpha $$

即刚体绕某一定轴转动,它受的合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积,与表达式 $F = m a$ 相对应

转动惯量

对于质量连续分布的刚体,转动惯量

$$J = \int r^2 dm$$

一些均匀刚体的转动惯量

刚体形状轴的位置转动惯量
细杆通过一端垂直于杆$\dfrac{1}{3}mL^2$
细杆通过中心垂直于杆$\dfrac{1}{12}mL^2$
薄圆环(圆筒)通过环心垂直于环面$mR^2$
圆盘(圆柱)通过盘心垂直于盘面$\dfrac{1}{2} mR^2$
薄球壳直径$\dfrac{2}{3} mR^2$
球体直径$\dfrac{2}{5} mR^2$

功能关系

力矩的功

当力矩 $M$ 与角速度方向一致时为正,否则为负。如果刚体的角位置从 $\theta_1$ 转到 $\theta_2$,$M$ 为合外力矩,则力矩做功为

$$A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M d\theta$$

动能定理

刚体转动的动能为

$$E_k = \dfrac{1}{2}$$

刚体定轴转动的动能定理$$ \int_{\theta_1}^{\theta_2} M d\theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} J \dfrac{d\omega}{dt} d\theta = \int_{\omega_1}^{\omega_2} J\omega d\omega = \dfrac{1}{2}J \omega_2^2 - \dfrac{1}{2}J \omega_1^2 $$

$$A = E_{k2} - E_{k1}$$

重力势能

设 $h_c$ 为质心的高度,刚体的重力势能为

$$E_p = mgh_c$$

角动量守恒

$$M dt = dL = J d\omega$$

上式中 $Mdt$ 称为冲量矩,表示力矩对时间的累积效果

设刚体 $t_1$ 时角速度为 $\omega_1$, $t_2$ 时角速度为 $\omega_2$, 对上式两边积分,得角动量定理:

$$\int_{t_1}^{t_2} M dt = \int_{\omega_1}^{\omega_2} J d\omega = J\omega_2 - J\omega_1$$

角动量守恒定律

如果合外力矩 $M = 0$ ,则

$$L = J\omega = 常量 $$