简谐振动的方程

符合下列形式的方程描述的动力学过程一定是简谐振动

动力学方程

$$\dfrac{d^2 x}{d t^2} + \omega^2 x = 0$$

对于弹簧振子,式中 $x$ 为物体的线位移, $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$

对于单摆(或复摆),变量 $x$ 为物体的角位移,$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$ (单摆) $ \omega = \sqrt{\dfrac{mgl}{J}}$ (复摆)

运动方程

$$x = A \cos (\omega t + \varphi)$$

受力方程

$$F_合 = -k x$$

简谐振动的周期

$$T = \dfrac{2 \pi}{\omega}$$

对于弹簧振子,$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$, 其周期为

$$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$$

对于单摆(或复摆),$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$ (或 $\omega = \sqrt{\dfrac{mgl}{J}}$), 其周期为

$$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{l}{g}}$$

$$T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{J}{mgl}} $$

频率

频率是单位时间内完成的全振动次数,用 $\nu$ 表示,它的单位是 Hz,显然

$$\nu = \dfrac{1}{T}$$

圆频率

$$\omega = \dfrac{w \pi}{T} = 2 \pi \nu$$

即 $\omega$ 等于频率 $\nu$ 的 $2 \pi$ 倍,或者说 $\omega$ 是 $2\pi$ 时间内完成全振动的次数,单位是 $rad \cdot s^{-1}$ (弧度每秒)

简谐振动的合成

同方向、同频率

取平衡位置为坐标原点,两振动方程分别为

$$x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi_1)$$

$$x_2 = A_1 \cos (\omega t + \varphi_2)$$

则合成后的振动方程为:

$$x = A \cos (\omega t + \varphi)$$

式中, $A$ 和 $\varphi$ 的值分别为

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos (\varphi_2 - \varphi_1)}$$

$$\tan \varphi = \dfrac{A_1 \sin \varphi_1 + A_2 \sin \varphi_2}{A_1 \cos \varphi_1 + A_2 \cos \varphi_2}$$

同方向、不同频率

设两个简谐振动的圆频率很接近,分别为$\omega_1 、\omega_2$,两振动方程分别为

$$x_1 = A_1 \cos (\omega t + \varphi_1)$$

$$x_2 = A_1 \cos (\omega t + \varphi_2)$$

为说明拍的频率,令两振动振幅相同,初相位相同,则合振动

$$x = 2A' \cos \left( \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \right) \cos \left(\dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2} t + \varphi \right)$$

式中 $ 2A' \cos \left( \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \right) $ 可视为合振动的振幅 $A$, $ \dfrac{\omega_1 + \omega_2}{2} $ 是合振动的频率

由于振幅是正数,所以合振幅的频率为 $2 \times \dfrac{1}{2 \pi} \left( \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{2} \right) = \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{2 \pi}$

即拍的频率为

$$\nu = \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{2 \pi} = \nu_2 - \nu_1$$

驻波

形成驻波的两列波,一列沿 $x$ 轴正向传播,另一列沿 $x$ 轴负向传播(反射波),振幅相同,频率相同,设初相相同,则两列波的波函数分别为

$$y_1 = A \cos \left( \omega t - \dfrac{2 \pi x}{\lambda} \right)$$

$$y_2 = A \cos \left( \omega t + \dfrac{2 \pi x}{\lambda} \right)$$

由三角函数关系,合振动方程为

$$y = y_1 + y_2 = \left( 2A \cos \dfrac{2 \pi x}{\lambda} \right) \cos \omega t$$

上式便是驻波的波函数。式中 $ 2A \cos \dfrac{2 \pi x}{\lambda} $ 是个点的振幅,只与 $x$ 有关,各点振幅随 $x$ 的不同而变化。

波节和波腹

若 $ \cos \dfrac{2 \pi x}{\lambda} = 0$, 即

$$x = \pm (2k + 1) \dfrac{\lambda}{4}$$

振幅为零,最小,称这些点为驻波的波节点

若 $ \cos \dfrac{2 \pi x}{\lambda} = 1$, 即

$$x = \pm k \dfrac{\lambda}{2}$$

振幅为$2A$,最大,称这些点为驻波的波腹点

各点的相位

把两个波节之间的所有各点,叫做一个分段

同一分段上各点的振动同相,相邻两分段中的各点振动反向(相位差为 $\pi$)