杨氏双缝干涉

两个相干光源 $S_1$ 和 $S_2$, 它们到达 $P$ 点的相位差由 $S_1$ 和 $S_2$ 到达该点的波程差 $\delta$ 决定,由 $\delta = r_2 - r_1$,所以两光到达 $P$ 点的相位差为

$$ \Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} (r_2 - r_1) $$

干涉相长

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} (r_2 - r_1) = \pm 2k\pi \qquad k = 0, 1, 2, \cdots$$

$$\delta = r_2 - r_1 = \pm k \lambda \qquad k = 0, 1, 2, \cdots$$

则 $P$ 点干涉相长,在该位置出现明条纹,$k$被称为干涉级次,代表第 $k$ 级干涉条纹。在中心点 $O, \delta = 0$ ,对应 $k = 0$,称为中央明纹

干涉相消

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} (r_2 - r_1) = \pm (2k +1)\pi \qquad k = 0, 1, 2, \cdots$$

$$\delta = r_2 - r_1 = \pm (2k + 1) \dfrac{\lambda}{2} \qquad k = 0, 1, 2, \cdots$$

则 $P$ 点干涉相消,相应处出现暗条纹。

条纹位置

明纹中心位置为

$$x = \pm k \dfrac{D}{d} \lambda, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots$$

暗纹中心位置为

$$x = \pm (2k + 1) \dfrac{D}{d} \dfrac{\lambda}{2}, \qquad, k = 0, 1, 2, \cdots$$

条纹间距相等,为

$$\Delta x = x_{k + 1} - x_k = \dfrac{D}{d} \lambda$$

光程

定义光程 $L$ 等于光在介质中走过的几何路程 $r$ 与介质折射率 $n$ 的乘积,即光程 $L = nr$

光程也可以这样理解:设波在介质 $n$ 中传播几何路程 $r$ 时所用的时间为 $t$,则

$$t = \dfrac{r}{v} = \dfrac{nr}{c} = \dfrac{L}{c}$$

即光在介质中传播几何路程 $r$ 所用的时间与在真空中传播 $nr$ 路程所用的时间相同

当两束相干光通过不同的介质后在空间相遇产生干涉时,其干涉光强的分布规律应由两束光的光程差 $\delta$ 而不是几何路程决定

薄透镜的等光程性

平行光或者点光源发出的光经透镜后发出的光经透镜后汇聚,这是干涉相长的结果,说明光仍是等相位的,所以通过薄透镜的光线具有等光程性。

半波损失

在透明介质中,只要光是从光疏介质进入光密介质,并且是正入射和接近正入射,或者是掠入射,则反射波一定有半波损失

在其他入射角情况下,有无半波损失要由具体情况来定。

薄膜干涉

薄膜干涉公式

薄膜上下表面反射光 2 和 3 的光程差为

$$\delta = n_2 (AB + BC) - n_1 AD + \dfrac{\lambda}{2}$$

注意:最后一项 $\dfrac{\lambda}{2}$ 附加光程差要根据实际情况考虑

因为

$$AB = BC = \dfrac{d}{\cos \gamma}$$

$$AD = AC \sin i = 2d \tan \gamma \cdot \sin i$$

$$n_2 \sin \gamma = n_1 sin i$$

可得

$$\delta = 2n_2 d \cos \gamma + \dfrac{\lambda}{2}$$

所以薄膜反射光的干涉公式为

$$2n_2d \cos \gamma + \dfrac{\lambda}{2} =
\begin{cases}
k\lambda & k = 1, 2, \cdots \qquad &相长 \\
(2k + 1) \dfrac{\lambda}{2} & k = 0, 1, 2, \cdots \qquad &相消
\end{cases}
$$

反射光的光程差和透射光的光程差相差 $\dfrac{\pi}{2}$,两种光的干涉现象互补,即透射光的干涉公式为

$$2n_2d \cos \gamma =
\begin{cases}
k\lambda & k = 1, 2, \cdots \qquad &相长 \\
(2k + 1) \dfrac{\lambda}{2} & k = 0, 1, 2, \cdots \qquad &相消
\end{cases}
$$

等厚干涉

若令光的入射角 $i$ 不变,则薄膜干涉仅由厚度 $d$ 的非均匀性决定,常采用垂直入射,即 $i = 0$,

则明暗纹条件为

$$2nd + \dfrac{\lambda}{2} =
\begin{cases}
k\lambda & k = 1, 2, \cdots \qquad &明纹 \\
(2k + 1) \dfrac{\lambda}{2} & k = 0, 1, 2, \cdots \qquad &暗纹
\end{cases}
$$

其中 $n = n_2$ 为透明介质的折射率, $\lambda$ 为真空中的波长

薄膜上同一厚度的点光程差相等,形成同一级次的干涉条纹,干涉条纹分布与薄膜的等厚线一致

劈尖干涉

在棱边处,若半波损失存在,则$d = 0, \delta = \dfrac{\lambda}{2}$, 棱边处为暗纹

第 $k$ 级明纹和暗纹对应的膜厚分别为

$$d = \dfrac{2k - 1}{4n} \lambda, \qquad k = 1, 2, \cdots \qquad \mathsf{明纹}$$

$$d = \dfrac{k}{2n} \lambda, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots \qquad 暗纹$$

相邻暗纹或亮纹所对应的薄膜厚度差为

$$\Delta d = d_{k+1} - d_k = \dfrac{\lambda}{2n}$$

条纹宽度为

$$l = \dfrac{\Delta d}{\sin \alpha} = \dfrac{\lambda}{2n \sin \alpha} \approx \dfrac{\lambda}{2n\alpha}$$

牛顿环

在中心处, $d = 0, \delta = \dfrac{\lambda}{2}$, 所以牛顿环的中心为一暗点

距透镜中心 $r$ 处的空气膜厚度

$$d \approx \dfrac{r^2}{2R}$$

若薄膜为折射率为 $n$ 的介质,则第 $k$ 级明环和暗环对应的半径为

$$ r =
\begin{cases}
\sqrt{\dfrac{(2k - 1)R\lambda}{2n}} & k= 1, 2, 3, \cdots &明环 \\
\sqrt{\dfrac{kR\lambda}{n}} & k = 0, 1, 2, \cdots &暗环
\end{cases}
$$

离中心越远,条纹间距越小,干涉条纹越密集。内疏外密,非等间距