单缝衍射

菲涅尔半波带法

(1)当 $\theta = 0$ 时,各衍射光汇聚于中点 $O$,光程差为零,$O$ 点形成衍射光强极大的位置,为零级亮纹

(2)单缝衍射的明暗纹条件

$$a \sin \theta =
\begin{cases}
\pm(2k + 1) \dfrac{\lambda}{2}, & k = 1, 2, 3, \cdots & 明纹 \\
\pm k \lambda, & k = 1, 2, 3, \cdots &暗纹
\end{cases}
$$

(3)不满足上式的其他 $\theta$ 方向,屏上对应处的亮度介于最明和最暗之间

中央明纹

设透镜的焦距为 $f$,则中央明纹在焦面处的屏上线宽度为

$$\Delta x_0 = 2f \dfrac{\lambda}{a}$$

其他各级明纹的宽度均等于中央明纹宽度的一半

狭缝越小,中央亮纹角宽度越大,其他级次的衍射角也是如此。即狭缝宽度越小,衍射现象越显著

若光源为白光,形成由紫到红的彩色条纹

圆孔衍射

圆孔衍射图样由中央亮斑和一组明暗相间的同心圆环组成。中央亮斑称为艾里斑。

若入射波长为 $\lambda$,圆孔直径为 $D$,在衍射角很小的近似条件下艾里斑的半角宽度为

$$\theta_1 = 1.22 \dfrac{\lambda}{D}$$

与单缝衍射的半角宽度差一个常系数 1.22

若衍射孔后方透镜的焦距为 $f$,则艾里斑在焦平面处的屏上的半径为

$$R_0 = f \cdot \theta_1 = 1.22 \dfrac{f \lambda}{D}$$

瑞利判据

当两个物点恰能被光学仪器分辨时,它们对该仪器中心的张角称为最小分辨角 $\delta\theta_0$

最小分辨角就等于艾里斑的半角宽度 $\theta_1$,即

$$\delta\theta_0 = \theta_1 = 1.22 \dfrac{\lambda}{D}$$

光栅衍射

光栅方程

设光栅每一条透光部分宽度为 $a$,不透光部分宽度为$b$,则定义光栅常量为$d = a + b$

设平面单色光垂直入射于光栅表面上,则在同一个衍射角 $\theta$ 方向上,任意两条相邻狭缝的光到达 $P$ 点的光程差都相等,当 $\theta$ 满足

$$(a + b) \sin \theta = \pm k \lambda, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots$$

所有相邻两缝发出的光互相干涉加强形成明条纹,称为主极大。上式称为光栅方程

缺级公式

当衍射角 $\theta$ 满足光栅方程时应产生主极大条纹,但若衍射角 $\theta$ 又满足单缝衍射的暗纹条件

$$a \sin \theta = \pm k' \lambda, \qquad k' = 1, 2, 3, \cdots$$

衍射光光强为零,明条纹不会出现,称为缺级现象。缺级公式

$$k = \dfrac{a + b}{a} k', \qquad k' = 1, 2, 3, \cdots$$

光栅中满足上式的第 $k$ 级主极大将发生缺级。$k'$ 为某一级单缝衍射极小所对应的级次