理想气体物态方程

单位

标准大气压:$1 atm = 1.013 \times 10^5 Pa$

热力学温度:$T/K = t/℃ + 273.15$

阿伏伽德罗常量:$N_A = 6.02 \times 10^{23} mol^{-1}$

理想气体状态方程

(1)$pV = \nu R T$

其中,$\nu$ 为气体物质的量,$R = 8.31 J \cdot mol^{-1} \cdot k^{-1}$,称为摩尔气体常量

(2)$p = n k T$
其中,$n = \dfrac{N}{V}$,称为分子数密度,表示单位体积中的微观粒子数

$k = \dfrac{R}{N_A} = 1.38 \times 10^{-23} J \cdot K^{-1}$,称为玻尔兹曼常量

标准状态

通常把气体压强为 $p_0 = 1.013 \times 10^5 Pa$(即 $1 atm$)、温度为 $T_0 = 273.15K$(即 $0 ℃$)时的气体状态叫做标准状态。

此状态下 1mol 任何气体的体积都是 $V_0 = 22.4 L$

麦克斯韦速率分布

对于大量分子的整体,在一定的条件下,它们的运动速率服从一个统计规律

麦克斯韦从理论上导出了理想气体在平衡态下分子的速率分布规律

$$f(v) = 4 \pi \left( \dfrac{m}{2\pi k T} \right)^{3/2} v^2 e^{\dfrac{-mv^2}{2kT}}$$

式中 $m$ 为单个分子的质量,$T$ 为气体温度,$k$ 为玻尔兹曼常量

除速率外麦克斯韦速率分布还与气体的温度和分子质量有关。

分子质量越小,速率较大的分子越多。温度越高,速率较大的分子数目越多。

分布曲线的高峰向速率增大的方向移动,由于面积恒为1,所以最高值要降低

特征速率

(1)最概然速率 $v_p$:

$$v_p = \sqrt{\dfrac{2kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{2RT}{M}} $$

(2)平均速率 $\overline{v}$:

$$\overline{v} = \sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}} = \sqrt{\dfrac{8RT}{\pi M}} $$

(3)方均根速率 $v_{rms}$:

$$\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\dfrac{3kT}{m}} = \sqrt{\dfrac{3RT}{M}}$$

平均自由程

在一定的宏观条件下,一个气体分子在连续两次碰撞之间经过的自由路程的平均值叫平均自由程,记作$\overline{\lambda}$

$$\overline{\lambda} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n} = \dfrac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$$

温度

分子平均平动动能 $\overline{\varepsilon}_t$ 只和温度有关,与热力学温度成正比

$$ \overline{\varepsilon}_t = \dfrac{3}{2} k T$$

压强

分子数密度为 $n$ 的理想气体压强为

$$p = \dfrac{2}{3} n \overline{\varepsilon}_t = n k T $$

热力学能

自由度

(1)单原子分子有 3 个自由度

(2)双原子分子有 5 个自由度

(3)多原子分子有 6 个自由度

能量均分定理

在温度为 $T$ 的平衡态下,气体分子每个自由度的平均动能都相等,等于 $\dfrac{kT}{2}$。这一结论被称为能量均分定理

因此,若某种气体分子共有 $i$ 个自由度,则单个分子的平均总动能为

$$ \overline{\varepsilon}_k = \dfrac{i}{2} k T$$

热力学能

系统的热力学能,又称内能,是指系统内所有分子的动能和分子间相互作用势能的总和

对于理想气体,由于不计分子间相互作用,其热力学能就是气体内所有分子热运动的动能之和

物质的量为 $\nu$ 的理想气体的总热力学能为

$$U = \dfrac{i}{2} \nu R T$$

一定量理想气体的热力学能的改变量只与初、末态的温度有关

$$\Delta U = \dfrac{i}{2} \nu R (T_2 - T_1)$$