傅里叶变换

傅氏变换与积分公式

若 $f(t)$ 在 $(- \infty, +\infty)$ 内满足傅里叶积分定理的条件,则称函数

$$ \widehat f (\omega) = \int_{-\infty}^{+ \infty} f(t) e^{-j \omega t} dt $$

为 $f(t)$ 的傅里叶变换,也可记为 $ \widehat f (\omega) = \mathscr{F} [ f(t) ]$。 $f(t)$ 称为象原函数, $ \widehat f (\omega) $ 称为象函数。

$$ f(t) = \mathscr F^{-1} [ \widehat f (\omega) ] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat f (\omega) e^{j \omega t} d \omega$$

定义为傅里叶逆变换

对称公式

$$ \mathscr F [ \widehat f (\omega) ] = 2 \pi f (-t) $$

称为对称公式,即有傅里叶变换对

$$ f(t) \longleftrightarrow 2\pi f(-\omega) $$

几个结论

矩形脉冲函数:$f(t) = \begin{cases} 1, & |t| < a \\ 0, & |t| > a \end{cases} \qquad (a > 0)$

$$ f(t) \longleftrightarrow \frac{2 \sin a\omega}{\omega} $$

钟型脉冲函数:$f(t) = e^{-\beta t^2} (\beta > 0) $

$$ f(t) \longleftrightarrow \sqrt{\frac{\pi}{\beta}} e^{-\frac{\omega^2}{4\beta}} $$

狄利克雷积分:

$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega}{\omega} d\omega = \frac{\pi}{2}$$

频谱概念

周期函数

设 $f(t)$ 是以 $T = 2l$ 为周期的实值函数, 在 $[-l, l]$ 上满足狄利克雷条件,则在连续点$t$处下面的三角级数成立:

$$ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t) $$

根据欧拉公式,上式可化为傅里叶级数的复指数形式

$$\begin{align}
f(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{a_n - jb_n}{2} e^{jn\omega_0t} + \frac{a_n + jb_n}{2} e^{-jn\omega_0t} )
\\ &= \sum_{n = -\infty}^{+\infty} C_n e^{jn\omega_0 t}
\end{align} $$

其中系数:

$$\begin{cases}
C_0 = \dfrac{a_0}{2} = \dfrac{1}{2l} \displaystyle \int_{-l}^l f(\tau) d\tau, \\[2ex]
C_n = \dfrac{a_n - jb_n}{2} = \dfrac{1}{2l} \displaystyle \int_{-l}^l f(\tau) e^{-jn \omega_0 \tau} d\tau, \\[2ex]
C_{-n} = \dfrac{a_n + jb_n}{2} = \dfrac{1}{2l} \displaystyle \int_{-l}^l f(\tau) e^{jn \omega_0 \tau} d\tau
\end{cases}$$

若记

$$\begin{align}
&A_0 = \frac{a_0}{2} = C_0,\\[2ex]
&A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} = 2 |C_n| = 2 |C_{-n}|, \\[2ex]
&\cos \varphi_n = \frac{a_n}{A_n}, \qquad \sin\varphi_n = - \frac{b_n}{A_n}, \\[2ex]
&\varphi_n = argC_n = - argC_{-n}
\end{align}$$

则 $f(t)$ 可写为

$$ f(t) = A_0 + \sum_{n = 1}^\infty A_n \cos(n \omega t + \varphi_n)$$

即对任一以 $T = 2l$ 为周期的波信号$f(t)$ 都可以分解为一系列的简谐波 $X_n(t) = A_n \cos(n \omega t + \varphi_n) $之和。

其中 $n = 1$时的谐波 $X_1(t) = A_1 \cos(\omega_0 t + \varphi_1)$ 称为基波,其角频率 $\omega_0$ 称为基频

$n$次谐波 $X_n(t) = A_n \cos (n\omega_0 t + \varphi_n)$ 的角频率 $n\omega_0$是基频的 $n$倍,振幅$A_n$ 反映了角频率为 $n\omega_0$ 的 $n$ 次谐波在 $f(t)$ 中所占的比重,$\varphi_n$ 表示$n$次谐波沿时间轴移动的大小,称为相位

在工程技术上,一般把振幅$A_n$ 称为 $f(t)$ 的频谱,振幅$A_n$与角频率$n \omega_0$ 的关系称为频谱图。对周期函数$f(t)$ 有离散频谱。把 $C_n$的辐角主值 $\varphi_n = arg C_n$ 称为离散相位频谱

非周期函数

设$f(t)$在$(-\infty, \infty)$内是非周期函数,而$ \widehat f (\omega) $ 是 $f(t)$ 的傅里叶变换。由于

$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat f (\omega) e^{j \omega t} d \omega $$

说明非周期函数 $f(t)$ 也是由许多频率为 $\omega$ 的分量 $ \dfrac{1}{2\pi} \widehat f (\omega) e^{j \omega t} $ 叠加而成,包含了从零到无穷大的所有频率的分量,而$ \widehat f (\omega) e^{j \omega t} $ 为 $f(t)$ 的频谱密度函数,它的模 $| \widehat f (\omega) e^{j \omega t} |$ 称为 $f(t)$ 的振幅频谱,简称为频谱。对非周期函数 $f(t)$ 有连续的频谱图$| \widehat f (\omega) e^{j \omega t} |$

又定义$ \widehat f (\omega) e^{j \omega t} $的辐角主值$\varphi(\omega) = arg \widehat f (\omega) e^{j \omega t} $ 为 $f(t)$ 的相位频谱

单位脉冲函数($\delta$函数)

$\delta$函数

$\delta$函数是定义在 $(-\infty, \infty)$ 上满足如下条件的函数,

$$\begin{align}
&(1) \delta(t - t_0) = \begin{cases} +\infty, &t = t_0 \\[2ex] 0, &t \neq t_0 \end{cases} \\[2ex]
&(2) \int_{- \infty}^{+ \infty} \delta(t - t_0) dt = 1
\end{align}$$

筛选性质

设 $C[a, b]$ 表示在 $[a, b]$ 上定义的连续函数全体,对任意的 $\varphi (t) \in C[a, b]$, 有

$$\int_a^b \delta(t - t_0) \varphi (t) dt = \varphi (t_0)$$

特别,当 $t_0 = a$ 或 $t_0 = b$ 时,应理解为

$$\int_{a^-}^b \delta(t - a) \varphi (t) dt = \varphi (a)$$

$$\int_{a}^{b^+} \delta(t - b) \varphi (t) dt = \varphi (b)$$

其他性质

性质1:$\delta(t)$ 是偶函数

性质2:设 $\alpha(t)$ 在 $t_0$ 的邻域内连续,则

$$ \alpha(t) \delta(t - t_0) = \alpha(t_0) \delta(t - t_0) $$

性质3:单位阶跃函数 $H(t) = \begin{cases} 1, &t \geq 0 \\[2ex] 0, &t < 0 \end{cases}$ 的导数

$$H'(t) = \delta(t)$$

性质4:$\delta$ 函数有任意阶导数。对任意在 $(-\infty, +\infty)$ 上有 $n$ 阶连续导数的函数 $\varphi(t)$,有

$$\int _{-\infty}^{+\infty} \delta^{(n)}(t - t_0) \varphi (t) dt = (-1)^n \varphi^{(n)} (t_0)$$

性质5:$\delta (t - t_0)$ 的傅里叶变换与逆变换:

$$\mathscr F [\delta(t - t_0)] = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t - t_0) e^{-j\omega t} dt = e^{-j\omega t_0}$$

$$ \mathscr F^{-1} [\delta(t - t_0)] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+ \infty} \delta (\omega - \omega_0) e^{j \omega t} d\omega = \frac{1}{2 \pi} e^{j \omega_0 t}$$

可得傅里叶变换对

$$\begin{cases}
\delta (t - t_0) \longleftrightarrow e^{-j\omega t_0} \\[2ex]
\delta (t) \longleftrightarrow 1
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
e^{j \omega t} \longleftrightarrow 2\pi \delta (\omega - \omega_0) \\[2ex]
1 \longleftrightarrow 2\pi\delta(\omega)
\end{cases}$$

性质6:设方程 $\varphi (t) = 0$ 有 $m$ 个单重根 $t_1, t_2, \cdots, t_m$,则有

$$\delta[ \, (\varphi(t)) \, ] = \sum_{k = 1}^m \frac{\delta(t - t_k)}{|\varphi' (t_k)|}$$

可得出几个常用公式:

(1)$\delta (at) = \dfrac{1}{|a|} \delta (t)$,$a \neq 0$为常数

(2)$\delta(t^2 - a^2) = \dfrac{1}{2|a|}[\, \delta(t - a) + \delta(t + a) \,]$, $a \neq 0$

(3)傅里叶变换对:

$$H(t) \longleftrightarrow \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)$$

$$\cos at \longleftrightarrow [\, \delta(\omega + a) + \delta(\omega - a) \,]$$

$$\sin at \longleftrightarrow [\, \delta(\omega + a) - \delta(\omega - a) \,]$$

$$sgn t = \begin{cases} 1, &t > 0 \\[2ex] -1, &t < 0 \end{cases} = 2H(t) - 1 \longleftrightarrow \frac{2}{j\omega}$$

傅里叶变换的性质

线性性质

$$\mathscr F [\, \alpha f(t) + \beta g(t) \,] = \alpha \widehat f (\omega) + \beta \widehat g (\omega)$$

$$\mathscr F^{-1} [\, \alpha \widehat f(\omega) + \beta \widehat g(\omega) \,] = \alpha f (t) + \beta g (t)$$

位移性质

$$\mathscr F [\, f(t -t_0) \,] = e^{-j\omega t_0} \widehat f(\omega)$$

$$\mathscr F^{-1} [\, f(\omega - a) \,] = e^{ja t} f(t)$$

$$\mathscr F [\, e^{jat} f(t) \,] = \widehat f(\omega - a)$$

相似性质

$$\mathscr F [\, f(at) \,] = \frac{1}{|a|} \widehat f (\frac{\omega}{a})$$

取 $a = -1$ 得翻转公式

$$\mathscr F [\, f(-t) \,] = \widehat f (- \omega)$$

微分性质

设当 $t \rightarrow \infty$ 时, $f(t) \rightarrow 0$,则

$$\mathscr F [\, f'(t) \,] = j \omega \widehat f (\omega)$$

$$\mathscr F [\, t f(t) \,] = j \frac{d}{d \omega} \widehat f (\omega)$$

推论1:若 $\lim_{t \to \infty} f^{(k)} (t) = 0$,$k = 0, 1, \cdots, n - 1$,则

$$\mathscr F [\, f^{(n)} (t) \,] = (j \omega)^n \widehat f (\omega)$$

推论2:象函数的高阶导数

$$\frac{d^n}{d \omega^n} \widehat f (\omega) = (-j)^n \mathscr F[\, t^nf(t) \,]$$

积分性质

若 $\lim \limits_{t \to +\infty} \displaystyle \int_{- \infty}^t f(\tau) d\tau = 0$,则

$$\mathscr F \left[\, \int_{-\infty}^t f(\tau) d \tau \,\right] = \frac{1}{j\omega} \widehat f (\omega)$$

若 $\lim \limits_{t \to +\infty} \displaystyle \int_{- \infty}^t f(\tau) d\tau \neq 0$,则

$$\mathscr F \left[\, \int_{-\infty}^t f(\tau) d \tau \,\right] = \frac{1}{j\omega} \widehat f (\omega) + \pi \widehat f (0) \delta (\omega)$$

卷积与卷积定理

定义

设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 内定义,若积分

$$f(t) * g(t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(\tau) g(t - \tau) d \tau$$

存在,则称它为 $f(t)$ 与 $g(t)$ 的卷积,记为$ f(t) * g(t) $

卷积满足交换律、结合律和对加法的分配率,即

(1)$f * g = g * f$

(2)$(f * g) * h = f * (g * h)$

(3)$f * (g + h) = f * g + f * h$

卷积定理

$$ \mathscr F [\, f(t) * g(t) \,] = \widehat f(\omega) \widehat{g\,}(\omega) $$

$$ \mathscr F [\, f(t) g(t) \,] = \frac{1}{2 \pi} \widehat f(\omega) * \widehat{g\,}(\omega) $$

$\delta$ 函数与 函数 $f(t)$ 的卷积公式

$$\delta(t - a) * f(t) = f(t - a)$$