一阶微分方程

可分离变量的方程

如果一阶微分方程解出 $y^\prime$ 后形如:

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=M(x) \cdot N(y) \tag{1}$$

则该方程为可分离变量的微分方程,化为

$$\frac{1}{N(y)}\mathrm{d}y=M(x)\mathrm{d}x \tag{2}$$

两边积分

$$\int \frac{1}{N(y)}\mathrm{d}y=\int M(x)\mathrm{d}x \tag{3}$$

得 $F(y)=G(x)+C$

换元分离变量

例1. 求解微分方程$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ax+by+c}{ax_1+by_1+c_1}, $$

其中 $\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b} = k $

则原式可写成$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{k\,(ax+by)+c_2}$$

代换,令 $u=ax+by$, 则$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{b}\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-\frac{a}{b}=\frac{u+c}{ku+c_2}$$

上式为可分离变量的微分方程

例2.求解微分方程$$y'=\cos(x+y)$$

令 $u=x+y$, 则 $u'=1+y'$, 即 $y'=u'-1$,则原方程化为

$$u'=\cos u +1 = 2\cos^2 \frac{u}{2}$$

分离变量,两边积分

$$\int \frac{\mathrm{d}u}{2\cos^2 \frac{u}{2}}= \int \mathrm{d}x $$

把 $u=x+y$ 代入, 得原方程通解

$$\tan \frac{x+y}{2} = x+C$$

齐次微分方程

如果一阶微分方程解出 $y^\prime$ 后形如:

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}= \varphi(\frac{y}{x})\tag{4}$$

则该方程为齐次方程,可将其化为可分离变量的方程

令 $u=\frac{y}{x}$, 则 $y=ux$, 于是 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ,带入(4)式

$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{ \mathrm{d}x }=\varphi(u)\tag{5}$$

上式为可分离变量的微分方程。分离变量,两边积分,得

$$\int \frac{\mathrm{d}u}{\varphi(u)-u}=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

假设 $\Phi(u)$为$\frac{1}{\varphi(u)-u}$ 的一个原函数,则微分方程(5)的通解为

$$\Phi(u) =\ln \left|x \right|+ C$$

再将 $\frac{y}{x}$带回通解中的 $u$, 则得原方程(4)的通解

y看做自变量

例3. 求解微分方程$$(1+e^{-\frac{x}{y}})y\,\mathrm{d}x+(y-x)\,\mathrm{d}y=0.$$

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} =\frac{-1+\frac{x}{y}}{1+e^{-\frac{x}{y}}}$$

令 $\frac{x}{y}=u, $ 即 $x=yu$ , 则 $ \frac{\mathrm{d}x}{ \mathrm{d}y}=y\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}+u$ , 带入上式,得

$$\begin{align} y\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} &= \frac{-1+u}{1+e^{-u}}-u \\\\[1.0ex]
&= \frac{-1-ue^{-u}}{1+e^{-u}} \\\\[1.0ex]
&= \frac{-(e^u+u)}{e^u+1}
\end{align}$$

分离变量得$$\frac{(e^u+1)\mathrm{d}\,u}{e^u+u}=-\frac{\mathrm{d}y}{y}$$

积分得

$$\begin{align}
\ln(e^u+u) &= -\ln y+\ln C \\
e^u + u &= y
\end{align}$$

把 $x=uy$ 代回,得

$$y\,e^ \frac{x}{y} + x - x y = C$$

可化齐次的方程

形如

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_1x+b_1y+c_1} \tag{6}$$

的方程当 $c=c_1=0$ 时是齐次型的。

① 当 $\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b} \neq \frac{c_1}{c}$ 时,令$k=\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}$, 则方程可化为

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{k(a_1x+b_1y)+c}{a_1x+b_1y+c_1} $$

换元,令 $ax_1+by_1=u$ ,即可化为可分离变量的方程

② 当 $\frac{a_1}{a} \neq \frac{b_1}{b}$ 时, 可做如下代换化为齐次型

$$x=X+h, \quad y=Y+k $$

因为 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}X, \quad \mathrm{d}y=\mathrm{d}Y, \quad$ 方程(6)经代换后化为

$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X} = \frac{aX+bY+(ah+bk+c)}{a_1X+b_1Y+(a_1h+b_1k+c_1)} $$

$$\begin{cases}

ah+bk+c=0 \\\\

a_1x+b_1k+c_1=0

\end{cases}$$

由上述方程组定出 $h$ 和 $k$ . 方程(6)便可化为齐次方程

$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY}{a_1X+b_1Y}$$

求该齐次方程通解,在通解中用 $x-h$ 代替 $X$ ,$y-k$ 代替 $Y$ , 即可得方程(6)的通解

一阶线性微分方程

方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

称为一阶线性方程。如果 $Q(x) \equiv 0$ , 则称方程是齐次的,否则是非齐次的。

该方程的通解公式为

$$y=e^{-\int P(x) \, \mathrm{d}x} \left( \int Q(x) \, e^{\int P(x) \, \mathrm{d}x}\, \mathrm{d}x + C \right) $$

公式中的两个不定积分 $ \int P(x) \mathrm{d}x $ 与 $ \int Q(x) \, e^{\int P(x) \, \mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x $ 都理解为一个原函数(不带任意常数C)

可降阶的微分方程

$y^{(n)}= f(x)$ 型

微分方程 $$ y^{(n)} = f(x)$$

右端仅含有自变量 $x$, 两边逐次积分降阶即可。

$y'' = f(x, y') $ 型

二阶微分方程$$ y''=f(x, y') $$

右端不显含未知函数 $ y $, 作代换 $y'=p$ ,将 $p$ 看做 $x$ 的函数 $p(x)$ ,则 $y''=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$

原方程降阶成以 $p(x)$ 为未知函数的一阶微分方程

$$ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = f(x, p) $$

若求得该方程通解为

$$ p=\varphi (x, C_1) $$

即 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi (x, C_1) $

两边积分,得原二阶微分方程通解

$$y= \int \varphi(x, C_1) \, \mathrm{d}x + C_2 $$

$y''=f(y, y')$ 型

二阶微分方程$$ y''=f(y, y') $$

右端不显含自变量 $x$ ,做代换 $y'=p$ ,将 $p$ 看做 $y$ 的函数 $p(y)$

由复合函数求导法则,

$$ y''=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = p \, \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} $$

则原方程降阶为以 $p(y)$ 为未知函数的一阶微分方程

$$ p \, \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y, p) $$

若求得该方程通解为

$$ p = \varphi (y, C_1) $$

即 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi (y, C_1) $

分离变量后两边积分,得原二阶微分方程通解

$$ \int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi (y,C_1)} = x + C_2 $$

二阶线性微分方程

齐次方程解的结构

方程

$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x)$$

称为二阶线性微分方程。其左端每一项关于未知函数 $y$ 及其导数 $y',y''$ 都是一次的。

如果方程的右端 $f(x) \equiv 0$ ,那么该方程是齐次的, 否则不是。

对于二阶线性齐次微分方程$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = 0 \tag{7}$$

定理1.        如果 $y_1(x)$ 与 $y_2(x)$ 是齐次方程(7)的两个线性无关的特解,那么

$$ y = C_1 \, y_1(x) + C_2 \, y_2(x)$$

就是齐次方程(7)的通解

对于二阶线性非齐次微分方程$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{8}$$

定理2.       如果 $y^*(x)$ 是非齐次方程(8)的一个特解, $y_齐(x)$ 是对应齐次方程(7)的通解, 那么

$$ y = y_齐(x) + y^*(x) $$

就是非齐次方程(8)的通解

求特解的方法

$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = 0 \tag{7}$$

$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{8}$$

定理3.       如果 $y_1^* 、y_2^*$ 分别为非齐次方程(8)的两个不同的特解,那么

$$ y = y_1^* - y_2^* $$

为对应齐次方程(7)的一个特解

定理4.        如果齐次线性微分方程(7)有一个非零解 $y_1(x)$ ,则可借助 $y_1(x)$ 求出另一个线性无关的解

$$ y_2(x) = y_1(x) \cdot \int \frac{1}{y_1^2(x)} \, e^{-\int P(x) \, \mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x $$

定理5.       若非齐次线性方程的右端 $f(x)$ 是几个函数之和,如

$$ y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = f_1(x) + f_2(x) $$

且 $y_1^*(x)$ 与 $y_2^*(x)$ 分别是方程

$$ y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = f_1(x)$$

$$ y'' + P(x) \, y' + Q(x) \, y = f_2(x) $$

的特解, 那么 $y_1^* + y_2^*$ 就是原方程的一个特解。

常系数齐次方程

二阶常系数齐次微分方程的一般形式为

$$ y'' + py' + qy = 0 \tag{1}$$

其中 $p$、$q$ 是常数。

该方程的特征方程为

$$r^2 + pr + q = 0$$

设 $r_1$、$r_2$ 为特征方程的特征根,分不同情况讨论

两个不等的实根

原微分方程(1)的通解为

$$ y = C_1 \, e^{r_1 \, x} + C_2 \, e^{r_2 \, x} $$

两个相等的实根

原微分方程(1)的通解为

$$ y = C_1 \, e^{r_1 \, x} + C_2 \, x \, e^{r_2 \, x} $$

一对共轭复根

设 $r_1= \alpha + i\beta , r_2 = \alpha - i\beta \quad (\beta \neq 0)$

原微分方程(1)的通解为

$$ y = e^{\alpha \, x} (C_1 \cos{\beta \, x} +C_2 \sin{\beta \, x}) $$

常系数非齐次方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是

$$ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{2}$$

其中 $p、q$ 是常数, $f(x) \neq 0$. 求该方程通解可化为求它的一个特解和求对应齐次方程的通解(已解决)

根据 $f(x)$ 不同的形式用待定系数法讨论求特解的方法

$f(x)=P_m(x) \, e^{\lambda \, x}$

特解的形式为

$$ y^* = x^k \, Q_m(x) \, e^{\lambda \, x} $$

其中, $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次( $m$ 次)的多项式(各项系数待定)

$ k=
\begin{cases}
0 & \lambda \mbox{不是特征方程的根} \\
1 & \lambda \mbox{是特征方程的单根} \\
2 & \lambda \mbox{是特征方程的重根}
\end{cases} $

把该特解代入所给的方程,确定各项系数就得到二阶线性常系数非齐次方程的一个特解

$f(x) = e^{\lambda \, x} [P_l(x) \, \cos{\omega \, x} + P_n(x) \, \sin{\omega \, x}] $

特解的形式为

$$ y^*=x^k \, e^{\lambda \, x} \, [R_m^{(1)}(x) \, \cos{\omega \, x} + R_m^{(2)}(x) \, \sin{\omega \, x} ]$$

其中 $R_m^{(1)}(x)、 R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次多项式, $m= \max{ \{ l, \ n \} }$

$ k=
\begin{cases}
0 & \lambda + i\omega \mbox{不是特征方程的根} \\
1 & \lambda + i\omega \mbox{是特征方程的根} \\
\end{cases} $

把该特解代入所给的方程,确定各项系数就得到二阶线性常系数非齐次方程的一个特解